Tổng hợp 20 câu trắc nghiệp toán lớp 10 cuối học kì 2 để cho các bé cùng ôn tập. Đây là mã đề 001 tại website tracnghiemchuan.com để cho học sinh làm bài. Đáp án chính xác, có phần hướng dẫn giải thích, hãy làm bài và xem kết quả ngay nào.
1. Câu hỏi: Từ các chữ số \( 1, 2, 3, 4, 5 \), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có hai chữ số khác nhau?
Số cần lập có dạng \( \overline{ab} \). Chữ số \( a \) có 5 cách chọn, chữ số \( b \) có 4 cách chọn (vì \( b \ne a \)). Theo quy tắc nhân, số các số lập được là \( 5 \cdot 4 = 20 \).
2. Câu hỏi: Khai triển nhị thức Newton \( (x + 1)^4 \) có bao nhiêu số hạng?
Khai triển nhị thức Newton \( (a + b)^n \) có \( n + 1 \) số hạng. Ở đây \( n = 4 \), do đó số các số hạng trong khai triển là \( 4 + 1 = 5 \).
3. Câu hỏi: Tìm hệ số của \( x^2 \) trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức \( (x + 2)^4 \).
Số hạng tổng quát trong khai triển là \( C_4^k \cdot x^{4-k} \cdot 2^k \). Để tìm hệ số của \( x^2 \), ta chọn \( 4 - k = 2 \Rightarrow k = 2 \). Hệ số cần tìm là \( C_4^2 \cdot 2^2 = 6 \cdot 4 = 24 \).
4. Câu hỏi: Một hộp chứa 4 viên bi xanh và 5 viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp đó sao cho có đủ cả hai màu?
Tổng số cách chọn 3 viên bi bất kì là \( C_9^3 = 84 \). Số cách chọn 3 viên bi chỉ toàn màu xanh là \( C_4^3 = 4 \). Số cách chọn 3 viên bi chỉ toàn màu đỏ là \( C_5^3 = 10 \). Vậy số cách chọn có đủ cả hai màu là \( 84 - 4 - 10 = 70 \).
5. Câu hỏi: Cho tập hợp \( A \) có 6 phần tử. Số tập con có 3 phần tử của tập hợp \( A \) là:
Một tập con gồm 3 phần tử được chọn từ 6 phần tử của tập \( A \) không tính đến thứ tự là một tổ hợp chập 3 của 6 phần tử, kí hiệu là \( C_6^3 \).
6. Câu hỏi: Gieo một con súc sắc cân đối và đồng chất một lần. Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm là số nguyên tố là:
Không gian mẫu gồm các kết quả \( \Omega = \{1; 2; 3; 4; 5; 6\} \Rightarrow n(\Omega) = 6 \). Các mặt có số chấm là số nguyên tố là \( \{2; 3; 5\} \Rightarrow n(A) = 3 \). Xác suất là \( P(A) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} \).
7. Câu hỏi: Gieo hai đồng xu cân đối và đồng chất cùng một lúc. Số phần tử của không gian mẫu là:
Mỗi đồng xu có 2 kết quả có thể xảy ra (Sấp hoặc Ngửa). Khi gieo hai đồng xu, số phần tử của không gian mẫu theo quy tắc nhân là \( 2 \cdot 2 = 4 \).
8. Câu hỏi: Chọn ngẫu nhiên một số tự nhiên từ 1 đến 10. Xác suất để chọn được một số chia hết cho 3 là:
Không gian mẫu gồm 10 phần tử. Các số từ 1 đến 10 chia hết cho 3 là \( \{3; 6; 9\} \), gồm 3 phần tử. Do đó xác suất là \( \frac{3}{10} \).
9. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( A(1; -2) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (3; 4) \) là:
Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \( (x_0; y_0) \) có vectơ chỉ phương \( (a; b) \) là \( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \). Thay số ta có \( \begin{cases} x = 1 + 3t \\ y = -2 + 4t \end{cases} \).
10. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \( M(2; 3) \) và nhận vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (1; -2) \) là:
Phương trình tổng quát có dạng \( a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \). Thay số ta được \( 1(x - 2) - 2(y - 3) = 0 \Leftrightarrow x - 2y + 4 = 0 \).
11. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), khoảng cách từ điểm \( M(1; 2) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 4y - 1 = 0 \) bằng:
Áp dụng công thức tính khoảng cách: \( d(M, \Delta) = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} = \frac{10}{5} = 2 \).
12. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), góc giữa hai đường thẳng \( d_1: x - 2y + 5 = 0 \) và \( d_2: 2x + y - 1 = 0 \) là:
Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \( \vec{n_1} = (1; -2) \) và \( \vec{n_2} = (2; 1) \). Tích vô hướng \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 2 + (-2) \cdot 1 = 0 \), suy ra hai đường thẳng vuông góc với nhau nên góc bằng \( 90^\circ \).
13. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), tọa độ tâm \( I \) và bán kính \( R \) của đường tròn \( (C): (x - 1)^2 + (y + 3)^2 = 16 \) là:
Phương trình đường tròn có dạng \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \). Đối chiếu ta được \( a = 1 \), \( b = -3 \Rightarrow I(1; -3) \) và \( R^2 = 16 \Rightarrow R = 4 \).
14. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
Biểu thức \( x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \) là phương trình đường tròn khi \( a^2 + b^2 - c > 0 \). Ở đáp án B ta có \( a = 2 \), \( b = -1 \), \( c = -4 \Rightarrow 2^2 + (-1)^2 - (-4) = 9 > 0 \).
15. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), phương trình tiếp tuyến của đường tròn \( (C): x^2 + y^2 = 5 \) tại điểm \( M(1; 2) \) là:
Tiếp tuyến tại điểm \( M(x_0; y_0) \) thuộc đường tròn có tâm \( O(0;0) \) có phương trình là \( x_0x + y_0y = R^2 \). Thay số ta được \( 1 \cdot x + 2 \cdot y = 5 \Leftrightarrow x + 2y - 5 = 0 \).
16. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), phương trình chính tắc của đường elip có độ dài trục lớn bằng 8 và độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
Độ dài trục lớn \( 2a = 8 \Rightarrow a = 4 \Rightarrow a^2 = 16 \). Độ dài trục nhỏ \( 2b = 6 \Rightarrow b = 3 \Rightarrow b^2 = 9 \). Phương trình chính tắc của elip là \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \), tức là \( \frac{x^2}{16} + \frac{y^2}{9} = 1 \).
17. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), cho elip \( (E): \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \). Tiêu cự của elip này bằng:
Từ phương trình ta có \( a^2 = 25 \), \( b^2 = 9 \). Ta có \( c^2 = a^2 - b^2 = 25 - 9 = 16 \Rightarrow c = 4 \). Tiêu cự của elip là \( 2c = 2 \cdot 4 = 8 \).
18. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), phương trình chính tắc của đường hypebol có tiêu cự bằng 10 và độ dài trục thực bằng 8 là:
Tiêu cự \( 2c = 10 \Rightarrow c = 5 \). Độ dài trục thực \( 2a = 8 \Rightarrow a = 4 \). Đối với hypebol ta có \( b^2 = c^2 - a^2 = 5^2 - 4^2 = 9 \). Phương trình chính tắc có dạng \( \frac{x^2}{a^2} - \frac{y^2}{b^2} = 1 \), do đó ta được \( \frac{x^2}{16} - \frac{y^2}{9} = 1 \).
19. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), phương trình chính tắc của đường parabol đi qua điểm \( M(1; 4) \) là:
Phương trình chính tắc của parabol có dạng \( y^2 = 2px \). Do parabol đi qua \( M(1; 4) \) nên \( 4^2 = 2p \cdot 1 \Rightarrow 2p = 16 \). Vậy phương trình parabol là \( y^2 = 16x \).
20. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), tiêu điểm \( F \) của parabol \( (P): y^2 = 8x \) có tọa độ là:
Phương trình parabol \( y^2 = 8x \Rightarrow 2p = 8 \Rightarrow p = 4 \). Tọa độ tiêu điểm của parabol là \( F\left(\frac{p}{2}; 0\right) \), thay số vào ta được \( F(2; 0) \).