Tổng hợp 20 câu trắc nghiệp toán lớp 10 cuối học kì 2 để cho các bé cùng ôn tập. Đây là mã đề 002 tại website tracnghiemchuan.com để cho học sinh làm bài. Đáp án chính xác, có phần hướng dẫn giải thích, hãy làm bài và xem kết quả ngay nào.
1. Câu hỏi: Tìm tập nghiệm của bất phương trình \( x^2 - 4x + 3 \le 0 \).
Giải thích: Tam thức bậc hai \( x^2 - 4x + 3 \) có hai nghiệm là \( x = 1 \) và \( x = 3 \). Hệ số \( a = 1 > 0 \). Để biểu thức nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng \( 0 \), ta lấy khoảng phía trong của hai nghiệm, tức là đoạn \( [1; 3] \).
2. Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) để tam thức bậc hai \( f(x) = x^2 - 2x + m \) luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \).
Giải thích: Tam thức luôn dương với mọi \( x \) khi và chỉ khi hệ số \( a > 0 \) và biệt thức \( \Delta' 0 \) và \( \Delta' = 1 - m 1 \).
3. Câu hỏi: Giải phương trình \( \sqrt{x^2 - 3x + 2} = x - 1 \).
Giải thích: Bình phương hai vế với điều kiện vế phải không âm \( x - 1 \ge 0 \) (tức \( x \ge 1 \)). Ta thu được phương trình \( x^2 - 3x + 2 = x^2 - 2x + 1 \), biến đổi thành \( -x = -1 \) tương đương \( x = 1 \) (thỏa mãn điều kiện).
4. Câu hỏi: Trong một hộp có \( 5 \) viên bi xanh và \( 7 \) viên bi đỏ. Có bao nhiêu cách chọn ra một viên bi bất kỳ từ hộp đó?
Giải thích: Việc chọn một viên bi có thể xảy ra theo hai trường hợp độc lập: chọn bi xanh (\( 5 \) cách) hoặc chọn bi đỏ (\( 7 \) cách). Áp dụng quy tắc cộng, ta có tổng số cách chọn là \( 5 + 7 = 12 \).
5. Câu hỏi: Một mật khẩu máy tính gồm \( 2 \) ký tự liên tiếp, ký tự đầu tiên là một chữ cái trong bảng chữ cái tiếng Anh (gồm \( 26 \) chữ cái), ký tự thứ hai là một chữ số từ \( 0 \) đến \( 9 \). Có bao nhiêu cách tạo mật khẩu như vậy?
Giải thích: Công việc lập mật khẩu gồm hai công đoạn liên tiếp: chọn chữ cái (\( 26 \) cách) và chọn chữ số (\( 10 \) cách). Áp dụng quy tắc nhân, số mật khẩu tạo thành là \( 26 \cdot 10 = 260 \).
6. Câu hỏi: Có bao nhiêu cách xếp \( 6 \) học sinh thành một hàng dọc?
Giải thích: Mỗi cách xếp \( 6 \) học sinh vào một hàng dọc là một hoán vị của \( 6 \) phần tử. Số cách xếp là \( 6! = 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 720 \).
7. Câu hỏi: Từ một nhóm gồm \( 10 \) học sinh, có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự gồm \( 3 \) người tương ứng với các chức vụ Lớp trưởng, Lớp phó và Bí thư?
Giải thích: Mỗi cách chọn và phân công chức vụ cho \( 3 \) học sinh từ nhóm \( 10 \) người là một chỉnh hợp chập \( 3 \) của \( 10 \) phần tử. Số cách thực hiện là \( A_{10}^3 = 720 \).
8. Câu hỏi: Một đội văn nghệ có \( 8 \) thành viên. Có bao nhiêu cách chọn ra một nhóm gồm \( 3 \) người để đi biểu diễn?
Giải thích: Mỗi cách chọn \( 3 \) người từ nhóm \( 8 \) người mà không phân biệt thứ tự hay chức vụ là một tổ hợp chập \( 3 \) của \( 8 \) phần tử. Số cách chọn là \( C_8^3 = 56 \).
9. Câu hỏi: Hệ số của \( x^2 \) trong khai triển của nhị thức Newton \( (x + 2)^4 \) là bao nhiêu?
Giải thích: Theo công thức khai triển nhị thức Newton, số hạng chứa \( x^2 \) có dạng \( C_4^2 \cdot x^2 \cdot 2^2 \). Tính toán ta có \( 6 \cdot x^2 \cdot 4 = 24x^2 \), do đó hệ số bằng \( 24 \).
10. Câu hỏi: Gieo đồng thời hai con xúc xắc cân đối và đồng chất. Số phần tử của không gian mẫu là bao nhiêu?
Giải thích: Mỗi con xúc xắc khi gieo có \( 6 \) kết quả có thể xảy ra. Khi gieo cả hai con xúc xắc đồng thời, áp dụng quy tắc nhân ta thu được tổng số phần tử không gian mẫu là \( 6 \cdot 6 = 36 \).
11. Câu hỏi: Gieo một con xúc xắc cân đối và đồng chất. Xác suất để xuất hiện mặt có số chấm chia hết cho \( 3 \) là bao nhiêu?
Giải thích: Không gian mẫu có \( 6 \) phần tử. Các mặt có số chấm chia hết cho \( 3 \) là mặt \( 3 \) chấm và mặt \( 6 \) chấm (gồm \( 2 \) kết quả thuận lợi). Xác suất của biến cố là \( \frac{2}{6} = \frac{1}{3} \).
12. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), đường thẳng \( d: 3x - 2y + 5 = 0 \) có một vectơ pháp tuyến là:
Giải thích: Phương trình đường thẳng dạng tổng quát \( ax + by + c = 0 \) nhận vectơ \( \vec{n} = (a; b) \) làm vectơ pháp tuyến. Với đường thẳng đã cho, ta suy ra ngay tọa độ là \( (3; -2) \).
13. Câu hỏi: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(1; 2) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (3; -4) \) là:
Giải thích: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( (x_0; y_0) \) có vectơ chỉ phương \( (a; b) \) được viết dưới dạng \( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \). Thay các giá trị tương ứng vào ta được hệ phương trình ở đáp án A.
14. Câu hỏi: Tính khoảng cách từ điểm \( A(1; 3) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 4y - 5 = 0 \).
Giải thích: Sử dụng công thức khoảng cách từ điểm đến đường thẳng: \( d(A, \Delta) = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 3 - 5|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \). Tính toán phần tử số được \( 10 \), mẫu số được \( 5 \), kết quả thu được bằng \( 2 \).
15. Câu hỏi: Tính góc giữa hai đường thẳng \( d_1: x + y - 1 = 0 \) và \( d_2: x - y + 3 = 0 \).
Giải thích: Hai đường thẳng có hai vectơ pháp tuyến lần lượt là \( \vec{n_1} = (1; 1) \) và \( \vec{n_2} = (1; -1) \). Ta xét tích vô hướng \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0 \). Vì tích vô hướng bằng \( 0 \) nên hai đường thẳng vuông góc với nhau, góc giữa chúng bằng \( 90^\circ \).
16. Câu hỏi: Xác định tâm \( I \) và bán kính \( R \) của đường tròn có phương trình \( (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 \).
Giải thích: Dựa vào phương trình chính tắc của đường tròn \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \), ta đối chiếu các giá trị tương ứng để xác định tâm \( I(a; b) = (2; -1) \) và bán kính \( R = \sqrt{9} = 3 \).
17. Câu hỏi: Phương trình chính tắc của một đường Elip có độ dài trục lớn bằng \( 10 \) và độ dài trục nhỏ bằng \( 8 \) là:
Giải thích: Độ dài trục lớn \( 2a = 10 \Rightarrow a = 5 \Rightarrow a^2 = 25 \). Độ dài trục nhỏ \( 2b = 8 \Rightarrow b = 4 \Rightarrow b^2 = 16 \). Thay vào dạng phương trình chính tắc \( \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \) ta được kết quả.
18. Câu hỏi: Viết phương trình đường tròn có tâm tại gốc tọa độ \( O(0; 0) \) và đi qua điểm \( M(3; 4) \).
Giải thích: Bán kính đường tròn chính là độ dài đoạn thẳng \( OM = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5 \). Khi đó phương trình đường tròn tâm \( O \) có dạng \( x^2 + y^2 = R^2 \), tương đương \( x^2 + y^2 = 25 \).
19. Câu hỏi: Một hộp chứa \( 4 \) quả cầu trắng và \( 6 \) quả cầu đen. Chọn ngẫu nhiên \( 2 \) quả cầu từ hộp. Tính xác suất để chọn được ít nhất một quả cầu trắng.
Giải thích: Tổng số cách chọn \( 2 \) quả cầu bất kỳ là \( C_{10}^2 = 45 \). Biến cố đối của biến cố cần tìm là "không chọn được quả cầu trắng nào" (chọn \( 2 \) quả đen), số cách là \( C_6^2 = 15 \). Xác suất biến cố đối là \( \frac{15}{45} = \frac{1}{3} \). Vậy xác suất để chọn được ít nhất một quả cầu trắng là \( 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3} \).
20. Câu hỏi: Phương trình chính tắc của Parabol có tiêu điểm \( F(2; 0) \) là:
Giải thích: Tiêu điểm của parabol có dạng \( F\left(\frac{p}{2}; 0\right) \). Theo bài ra ta có \( \frac{p}{2} = 2 \Rightarrow p = 4 \). Thay vào phương trình chính tắc của parabol dạng \( y^2 = 2px \), ta thu được \( y^2 = 8x \).