20 Câu trắc nghiệm toán Lớp 10 giữa học kì 2 – mã đề 001

Tam thức bậc hai đối với \( x \) là biểu thức có dạng \( f(x) = ax^2 + bx + c \) với \( a \ne 0 \). Do đó \( f(x) = x^2 - 4x + 3 \) là tam thức bậc hai.

Tam thức có hai nghiệm \( x = 2 \) và \( x = 3 \), hệ số \( a = 1 > 0 \). Trong khoảng giữa hai nghiệm \( (2; 3) \), tam thức trái dấu với hệ số \( a \), tức là \( f(x) < 0 \).

Để \( f(x) = x^2 + 2x + m > 0 \) với mọi \( x \in \mathbb{R} \) thì ta cần hệ số \( a = 1 > 0 \) và biệt thức \( \Delta' = 1 - m 1 \).

Tam thức \( x^2 - 4x + 3 \) có hai nghiệm \( x = 1 \) và \( x = 3 \), hệ số \( a = 1 > 0 \). Bất phương trình lấy dấu \( \le 0 \) nên tập nghiệm nằm trong đoạn giữa hai nghiệm \( [1; 3] \).

Ta có \( -x^2 + 2x - 1 = -(x - 1)^2 \). Bất phương trình tương đương với \( -(x - 1)^2 0 \Leftrightarrow x \ne 1 \). Vậy tập nghiệm là \( \mathbb{R} \setminus \{1\} \).

Hàm số xác định khi biểu thức dưới dấu căn không âm, tức là \( x^2 - 3x + 2 \ge 0 \). Tam thức này có hai nghiệm \( x = 1 \), \( x = 2 \) và hệ số \( a = 1 > 0 \), nên tập nghiệm là \( (-\infty; 1] \cup [2; +\infty) \).

Bình phương hai vế ta được \( x^2 - 2x - 3 = x + 1 \Leftrightarrow x^2 - 3x - 4 = 0 \Leftrightarrow x = -1 \) hoặc \( x = 4 \). Thử lại vào phương trình ban đầu, cả hai nghiệm đều thỏa mãn.

Bình phương hai vế với điều kiện vế phải không âm \( x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1 \), ta được \( 2x^2 - 3x + 1 = x^2 - 2x + 1 \Leftrightarrow x^2 - x = 0 \Leftrightarrow x = 0 \) hoặc \( x = 1 \). Kết hợp điều kiện ta chọn \( x = 1 \).

Hệ số của tham số \( t \) trong phương trình tham số chính là tọa độ của một vectơ chỉ phương của đường thẳng, do đó \( \vec{u} = (-2; 1) \).

Các hệ số của \( x \) và \( y \) trong phương trình tổng quát \( ax + by + c = 0 \) lần lượt là hoành độ và tung độ của một vectơ pháp tuyến, do đó \( \vec{n} = (3; -4) \).

Nếu đường thẳng có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (a; b) \) thì nó nhận \( \vec{u} = (-b; a) \) hoặc \( \vec{u} = (b; -a) \) làm vectơ chỉ phương. Với \( \vec{n} = (2; -5) \), ta chọn được \( \vec{u} = (5; 2) \).

Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \( M(x_0; y_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b) \) có dạng \( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \). Thay số ta được kết quả ở đáp án B.

Phương trình tổng quát đi qua \( A(x_0; y_0) \) có VTPN \( \vec{n} = (a; b) \) có dạng \( a(x - x_0) + b(y - y_0) = 0 \). Thay số: \( 2(x - 1) + 1(y - 3) = 0 \Leftrightarrow 2x + y - 5 = 0 \).

Xét tỉ số các hệ số của hai đường thẳng ta thấy \( \frac{1}{2} = \frac{-2}{-4} \ne \frac{1}{5} \), chứng tỏ hai đường thẳng song song với nhau.

Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng: \( d(M, \Delta) = \frac{|3 \cdot 1 - 4 \cdot 2 + 10|}{\sqrt{3^2 + (-4)^2}} = \frac{5}{5} = 1 \).

VTPN của \( d_1 \) là \( \vec{n_1} = (1; 1) \) và của \( d_2 \) là \( \vec{n_2} = (1; -1) \). Ta có tích vô hướng \( \vec{n_1} \cdot \vec{n_2} = 1 \cdot 1 + 1 \cdot (-1) = 0 \), suy ra hai đường thẳng vuông góc nên góc giữa chúng bằng \( 90^\circ \).

Việc chọn một bộ quần áo gồm 2 công đoạn liên tiếp là chọn áo (5 cách) và chọn quần (4 cách). Theo quy tắc nhân, số cách chọn là \( 5 \cdot 4 = 20 \) cách.

Mỗi cách xếp 5 học sinh vào một hàng dọc là một hoán vị của 5 phần tử. Số cách xếp là \( 5! = 120 \) cách.

Mỗi số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau được chọn từ 6 chữ số và có sắp xếp thứ tự là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử: \( A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \).

Tổng số học sinh là \( 7 + 3 = 10 \). Chọn ra 4 học sinh không phân biệt thứ tự từ 10 học sinh là một tổ hợp chập 4 của 10 phần tử: \( C_{10}^4 = 210 \).