Tracnghiemchuan tổng hợp 20 câu trắc nghiệm toán lớp 10 – giữa học kì 2 để cho các bé cùng ôn tập ngay. Chúng tôi mang đến những câu hỏi trắc nghiệm online bám sát chương trình học, cùng làm bài tập ngay để xem kiến thức tới đâu. Bộ mã đề 003 được cập nhật tại tracnghiemchuan.com ngay nào.
1. Câu hỏi: Tam thức bậc hai nào sau đây luôn nhận giá trị dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \)?
Tam thức \( f(x) = x^2 - x + 1 \) có hệ số \( a = 1 > 0 \) và biệt thức \( \Delta = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = -3 < 0 \). Do đó tam thức luôn cùng dấu với \( a \) (tức là dương) với mọi số thực \( x \).
2. Câu hỏi: Tập nghiệm của bất phương trình \( x^2 - 3x + 2 \le 0 \) là tập hợp nào sau đây?
Phương trình \( x^2 - 3x + 2 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt là \( x = 1 \) và \( x = 2 \). Do hệ số \( a = 1 > 0 \), nên tam thức nhận giá trị nhỏ hơn hoặc bằng \( 0 \) trong đoạn giữa hai nghiệm. Tập nghiệm là \( [1; 2] \).
3. Câu hỏi: Điều kiện để tam thức bậc hai \( f(x) = ax^2 + bx + c \) (với \( a \ne 0 \)) luôn nhận giá trị âm với mọi \( x \in \mathbb{R} \) là gì?
Dựa vào định lí về dấu của tam thức bậc hai, để \( f(x) < 0 \) với mọi \( x \) thì parabol phải quay bề lõm xuống dưới (tức là \( a < 0 \)) và không cắt trục hoành (tức là \( \Delta < 0 \)).
4. Câu hỏi: Tập nghiệm của phương trình \( \sqrt{2x^2 - 3x - 1} = \sqrt{x^2 - 1} \) là?
Bình phương hai vế ta được \( 2x^2 - 3x - 1 = x^2 - 1 \), tương đương với \( x^2 - 3x = 0 \), giải ra được \( x = 0 \) hoặc \( x = 3 \). Thử lại điều kiện \( x^2 - 1 \ge 0 \), tại \( x = 0 \) ta có \( 0^2 - 1 = -1 < 0 \) (loại); tại \( x = 3 \) ta có \( 3^2 - 1 = 8 \ge 0 \) (nhận).
5. Câu hỏi: Số nghiệm của phương trình \( \sqrt{x^2 - 4x + 3} = x - 1 \) là bao nhiêu?
Điều kiện để vế phải không âm là \( x - 1 \ge 0 \), suy ra \( x \ge 1 \). Bình phương hai vế ta được \( x^2 - 4x + 3 = (x - 1)^2 \), hay \( x^2 - 4x + 3 = x^2 - 2x + 1 \). Rút gọn ta được \( -2x = -2 \), suy ra \( x = 1 \). Giá trị này thỏa mãn điều kiện \( x \ge 1 \) nên phương trình có duy nhất 1 nghiệm.
6. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ, vectơ pháp tuyến của đường thẳng \( d: 2x - 3y + 1 = 0 \) là vectơ nào dưới đây?
Phương trình tổng quát của đường thẳng có dạng \( ax + by + c = 0 \) thì vectơ pháp tuyến là \( \vec{n} = (a; b) \). Từ phương trình đã cho ta xác định được hệ số \( a = 2 \) và \( b = -3 \).
7. Câu hỏi: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua điểm \( M(1; -2) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (3; 4) \) là phương trình nào?
Công thức phương trình tham số đi qua điểm \( M(x_0; y_0) \) với vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (u_1; u_2) \) là \( x = x_0 + u_1 t \) và \( y = y_0 + u_2 t \). Thay số vào ta được kết quả chính xác.
8. Câu hỏi: Khoảng cách từ điểm \( A(1; 2) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 4y - 1 = 0 \) là bao nhiêu?
Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, ta có phép tính \( d = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 1|}{\sqrt{3^2 + 4^2}} \). Thực hiện phép tính ta có kết quả \( \frac{10}{5} = 2 \).
9. Câu hỏi: Số đo góc giữa hai đường thẳng \( d_1: x - 2y + 1 = 0 \) và \( d_2: x + 3y - 5 = 0 \) bằng bao nhiêu?
Vectơ pháp tuyến của hai đường thẳng lần lượt là \( \vec{n_1} = (1; -2) \) và \( \vec{n_2} = (1; 3) \). Cosin góc giữa hai đường thẳng bằng trị tuyệt đối của tích vô hướng chia cho tích độ dài: phép tính \( \cos \alpha = \frac{|1 \cdot 1 + (-2) \cdot 3|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2} \cdot \sqrt{1^2 + 3^2}} = \frac{5}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Từ đó góc là \( 45^\circ \).
10. Câu hỏi: Vị trí tương đối của hai đường thẳng \( d_1: 2x - y + 3 = 0 \) và \( d_2: 4x - 2y + 1 = 0 \) là gì?
Xét tỉ lệ các hệ số của hai đường thẳng ta thấy phép tính \( \frac{2}{4} = \frac{-1}{-2} \ne \frac{3}{1} \). Điều này chứng tỏ hai đường thẳng song song với nhau.
11. Câu hỏi: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau?
Việc lập một số tự nhiên có 3 chữ số khác nhau từ 6 chữ số đã cho là việc chọn ra 3 chữ số và sắp xếp chúng. Do đó, ta dùng chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử. Phép tính là \( A_6^3 = 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120 \).
12. Câu hỏi: Một tổ học tập có 10 học sinh. Cần chọn ra một ban cán sự gồm 1 tổ trưởng, 1 tổ phó và 1 thư ký. Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu các học sinh có khả năng như nhau?
Chọn 3 học sinh từ 10 học sinh và phân công vào 3 vị trí khác nhau (có phân biệt thứ tự) là một chỉnh hợp chập 3 của 10. Phép tính là \( A_{10}^3 = 10 \cdot 9 \cdot 8 = 720 \) cách.
13. Câu hỏi: Một lớp học có 20 học sinh nam và 15 học sinh nữ. Hỏi có bao nhiêu cách chọn 4 học sinh đi lao động sao cho có đúng 2 học sinh nam và 2 học sinh nữ?
Số cách chọn 2 học sinh nam là \( C_{20}^2 \). Số cách chọn 2 học sinh nữ là \( C_{15}^2 \). Theo quy tắc nhân, tổng số cách chọn là phép tính \( C_{20}^2 \cdot C_{15}^2 = 190 \cdot 105 = 19950 \).
14. Câu hỏi: Có 5 quyển sách toán khác nhau và 4 quyển sách lý khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp tất cả các quyển sách này lên một kệ sách dài sao cho các quyển sách cùng môn nằm kề nhau?
Buộc 5 quyển toán thành một khối, 4 quyển lý thành một khối. Đổi chỗ 2 khối có \( 2! \) cách. Trong khối toán có \( 5! \) cách sắp xếp, trong khối lý có \( 4! \) cách sắp xếp. Tổng số cách là phép tính \( 2! \cdot 5! \cdot 4! = 2 \cdot 120 \cdot 24 = 5760 \).
15. Câu hỏi: Bạn A có 3 cái áo khác nhau và 4 chiếc quần khác nhau. Hỏi bạn A có bao nhiêu cách chọn một bộ quần áo (gồm 1 áo và 1 quần)?
Để chọn một bộ quần áo cần thực hiện hai công đoạn liên tiếp: chọn áo (3 cách) và chọn quần (4 cách). Áp dụng quy tắc nhân, số cách chọn là phép tính \( 3 \cdot 4 = 12 \).
16. Câu hỏi: Tìm số hạng không chứa \( x \) trong khai triển của nhị thức \( \left( x + \frac{2}{x} \right)^6 \).
Số hạng tổng quát thứ \( k+1 \) là \( C_6^k \cdot x^{6-k} \cdot \left(\frac{2}{x}\right)^k = C_6^k \cdot 2^k \cdot x^{6-2k} \). Số hạng không chứa \( x \) ứng với số mũ của \( x \) bằng 0, tức là \( 6 - 2k = 0 \), suy ra \( k = 3 \). Hệ số tương ứng là phép tính \( C_6^3 \cdot 2^3 = 20 \cdot 8 = 160 \).
17. Câu hỏi: Tổng các hệ số trong khai triển của nhị thức \( (2x - 1)^5 \) bằng bao nhiêu?
Tổng các hệ số trong khai triển của một đa thức \( P(x) \) chính là giá trị của đa thức đó tại \( x = 1 \). Thay \( x = 1 \) vào nhị thức, ta có phép tính \( (2 \cdot 1 - 1)^5 = 1^5 = 1 \).
18. Câu hỏi: Tọa độ tâm \( I \) và bán kính \( R \) của đường tròn \( (C): (x - 2)^2 + (y + 3)^2 = 16 \) là gì?
Phương trình chính tắc của đường tròn có dạng \( (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \). Đối chiếu với phương trình đã cho, ta tìm được tâm \( I(2; -3) \) và bán kính \( R = \sqrt{16} = 4 \).
19. Câu hỏi: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
Phương trình dạng \( x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0 \) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi \( a^2 + b^2 - c > 0 \). Ở đáp án A, ta có \( a = 1, b = -2, c = 1 \) và phép tính \( 1^2 + (-2)^2 - 1 = 4 > 0 \).
20. Câu hỏi: Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn \( (C): (x - 1)^2 + (y - 2)^2 = 5 \) tại điểm \( M(2; 4) \).
Đường tròn có tâm \( I(1; 2) \). Tiếp tuyến tại điểm \( M(2; 4) \) sẽ nhận vectơ \( \vec{IM} = (1; 2) \) làm vectơ pháp tuyến. Phương trình tiếp tuyến đi qua \( M(2; 4) \) là \( 1 \cdot (x - 2) + 2 \cdot (y - 4) = 0 \), rút gọn thành \( x + 2y - 10 = 0 \).