1. Câu hỏi: Số tự nhiên nhỏ nhất có dạng \(\overline{7x4}\) (với \(x\) là chữ số) chia hết cho 9 là:
Giải thích: Một số chia hết cho 9 khi tổng các chữ số của nó chia hết cho 9. Ta có \(7 + x + 4 = 11 + x\). Để \(11 + x\) chia hết cho 9, \(x\) phải là 7 (vì \(11 + 7 = 18\), \(18 \div 9 = 2\)).
2. Câu hỏi: Giá trị nào của chữ số \(y\) khiến số \(\overline{45y}\) chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9?
Giải thích: Tổng các chữ số là \(4 + 5 + y = 9 + y\). Để chia hết cho 3, \(y\) có thể là 0, 3, 6, 9. Để không chia hết cho 9, \(9 + y\) không được là bội của 9. \(y=3\) cho tổng 12, \(y=6\) cho tổng 15, cả hai đều chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9.
3. Câu hỏi: Cho số \(\overline{1a2b}\) chia hết cho cả 9 và 5. Tổng \(a + b\) có thể nhận giá trị nào?
Giải thích: Số chia hết cho 5 thì \(b \in \{0, 5\}\). Số chia hết cho 9 thì tổng các chữ số \(1 + a + 2 + b = 3 + a + b\) phải chia hết cho 9. Nếu \(b=0\) thì \(a=6\) (\(a+b=6\)). Nếu \(b=5\) thì \(a=1\) (\(a+b=6\)).
4. Câu hỏi: Số \(A = 10^{15} + 8\) chia hết cho số nào sau đây?
Giải thích: Số \(A\) là số 1 theo sau là 15 chữ số 0 rồi kết thúc bằng 8. Tổng các chữ số của \(A\) là \(1 + 8 = 9\). Vì tổng các chữ số chia hết cho 9, nên số \(A\) chia hết cho 9.
5. Câu hỏi: Nếu số tự nhiên \(A\) chia hết cho 3, thì biểu thức nào sau đây luôn luôn chia hết cho 9?
Giải thích: Nếu \(A\) chia hết cho 3, ta có \(A = 3k\). Khi đó, \(A \times 9 = 3k \times 9 = 27k\). Vì 27 chia hết cho 9, nên \(A \times 9\) luôn luôn chia hết cho 9.
6. Câu hỏi: Số dư khi chia số 43214321 cho 9 là bao nhiêu?
Giải thích: Số dư của một số khi chia cho 9 bằng số dư của tổng các chữ số của nó khi chia cho 9. Tổng các chữ số là \(4+3+2+1+4+3+2+1 = 20\). Ta có \(20 = 9 \times 2 + 2\). Vậy số dư là 2.
7. Câu hỏi: Có bao nhiêu số tự nhiên có dạng \(\overline{1a2b}\) (với \(a\), \(b\) là chữ số khác nhau) chia hết cho 9 và có tận cùng là chữ số chẵn?
Giải thích: Số chia hết cho 9 \(\Rightarrow 3 + a + b\) chia hết cho 9 \(\Rightarrow a + b \in \{6, 15\}\). Tận cùng chẵn \(\Rightarrow b \in \{0, 2, 4, 6, 8\}\). \(a \ne b\) và \(a \ne 1, 2\). Có 6 số thỏa mãn: 1620, 1422, 1224, 1026 (khi \(a+b=6\)) và 1926, 1728 (khi \(a+b=15\)).
8. Câu hỏi: Giá trị chữ số \(a\) nhỏ nhất thỏa mãn số \(\overline{8a3}\) chia hết cho 3 nhưng không chia hết cho 9 là:
Giải thích: Tổng các chữ số là \(8 + a + 3 = 11 + a\). Để chia hết cho 3, \(a \in \{1, 4, 7\}\). Để không chia hết cho 9, \(11 + a \neq 18\), suy ra \(a \neq 7\). Các giá trị thỏa mãn là \(a=1\) và \(a=4\). Giá trị nhỏ nhất là \(a=1\).
9. Câu hỏi: Một số tự nhiên \(N\) chia cho 9 có số dư là 5. Khi đó, tổng các chữ số của \(N\) chia cho 9 sẽ có số dư là bao nhiêu?
Giải thích: Số dư của một số tự nhiên khi chia cho 9 luôn bằng số dư của tổng các chữ số của nó khi chia cho 9.
10. Câu hỏi: Hiệu của một số có hai chữ số và số được viết bằng cách đổi chỗ hai chữ số đó (giả sử chữ số hàng chục lớn hơn chữ số hàng đơn vị) luôn luôn chia hết cho số lớn nhất nào sau đây?
Giải thích: Gọi số đó là \(\overline{ab}\). Hiệu là \(\overline{ab} - \overline{ba} = 9(a - b)\). Biểu thức này luôn chia hết cho 9.
11. Câu hỏi: Cho \(A = 27 + \overline{3x} + 45\). Tìm chữ số \(x\) để \(A\) chia hết cho 9.
Giải thích: Vì 27 và 45 đều chia hết cho 9, nên để tổng \(A\) chia hết cho 9 thì \(\overline{3x}\) phải chia hết cho 9. \(\overline{3x}\) chia hết cho 9 khi tổng \(3 + x\) chia hết cho 9. Suy ra \(x=6\).
12. Câu hỏi: Số tự nhiên nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau, chia hết cho cả 3 và 5 là:
Giải thích: Số nhỏ nhất có 4 chữ số khác nhau phải có dạng \(\overline{10ab}\). Chia hết cho 5 \(\Rightarrow b \in \{0, 5\}\). Chia hết cho 3 \(\Rightarrow 1 + 0 + a + b\) chia hết cho 3. Trường hợp \(b=0\) cho số 1020 (tổng chữ số là 3). Trường hợp \(b=5\) cho số 1035 (tổng chữ số là 9). Số nhỏ nhất là 1020.
13. Câu hỏi: Nếu một số tự nhiên \(N\) chia cho 3 có số dư là 2, thì tổng các chữ số của \(N\) chia cho 3 sẽ có số dư là bao nhiêu?
Giải thích: Số dư của một số tự nhiên khi chia cho 3 bằng số dư của tổng các chữ số của nó khi chia cho 3.
14. Câu hỏi: Số \(10^{10} - 1\) chia hết cho số lớn nhất nào sau đây?
Giải thích: Số \(10^{10} - 1\) là số gồm 10 chữ số 9. Số này có tổng các chữ số là \(9 \times 10 = 90\), chia hết cho cả 3 và 9. Vì đây là số lẻ nên nó không chia hết cho 6 hoặc 10. Do đó, 9 là số lớn nhất trong các đáp án.
15. Câu hỏi: Tìm số tự nhiên lớn nhất có 4 chữ số, chia hết cho cả 3 và 4.
Giải thích: Số lớn nhất có 4 chữ số phải gần 9999 nhất. Số chia hết cho 4: hai chữ số cuối chia hết cho 4. Số chia hết cho 3: tổng các chữ số chia hết cho 3. Ta xét 9996: Hai chữ số cuối 96 chia hết cho 4. Tổng chữ số \(9+9+9+6 = 33\) chia hết cho 3. Vậy 9996 là số lớn nhất thỏa mãn.
