1. Câu hỏi: Cho biểu thức \( P = \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} \). Tìm giá trị nguyên của \( x \) để \( P \) nhận giá trị nguyên.
Thực hiện phép chia tử cho mẫu \( P = 1 + \frac{3}{\sqrt{x}-2} \), sau đó tìm \( x \) sao cho \( \sqrt{x}-2 \) là ước của 3 và \( x \) phải là số chính phương.
2. Câu hỏi: Giải hệ phương trình: \( \begin{cases} 2x + 3y = 13 \\ 3x - y = 3 \end{cases} \)
Sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số để triệt tiêu một ẩn rồi tìm ẩn còn lại.
3. Câu hỏi: Rút gọn biểu thức \( A = \sqrt{(3-2\sqrt{2})^2} + \sqrt{(3+2\sqrt{2})^2} \)
Sử dụng hằng đẳng thức \( \sqrt{A^2} = |A| \) và chú ý dấu của biểu thức trong trị tuyệt đối.
4. Câu hỏi: Cho hàm số bậc nhất \( y = (m-1)x + 3 \). Tìm \( m \) để hàm số nghịch biến trên \( \mathbb{R} \).
Hàm số bậc nhất \( y = ax + b \) nghịch biến khi hệ số \( a < 0 \).
5. Câu hỏi: Giá trị của biểu thức \( \sqrt{12-3\sqrt{7}} - \sqrt{12+3\sqrt{7}} \) là:
Bình phương biểu thức hoặc biến đổi biểu thức trong căn về dạng bình phương một hiệu/tổng.
6. Câu hỏi: Cho đường tròn \( (O; 5cm) \) và dây \( AB = 8cm \). Khoảng cách từ tâm \( O \) đến dây \( AB \) là:
Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông tạo bởi bán kính, khoảng cách và nửa dây cung.
7. Câu hỏi: Tìm điều kiện xác định của biểu thức \( \sqrt{\frac{-3}{x-2}} \).
Biểu thức dưới căn phải không âm, vì tử số âm nên mẫu số phải âm và khác 0.
8. Câu hỏi: Đường thẳng nào sau đây song song với đường thẳng \( y = -2x + 5 \)?
Hai đường thẳng song song khi có cùng hệ số góc \( a = a' \) và tung độ gốc \( b \neq b' \).
9. Câu hỏi: Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \). Biết \( AB = 6cm, AC = 8cm \). Độ dài \( AH \) là:
Sử dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: \( AH \cdot BC = AB \cdot AC \).
10. Câu hỏi: Số nghiệm của hệ phương trình \( \begin{cases} x - 2y = 3 \\ 2x - 4y = 6 \end{cases} \) là:
Kiểm tra tỉ lệ các hệ số \( \frac{a}{a'} = \frac{b}{b'} = \frac{c}{c'} \).
11. Câu hỏi: Rút gọn biểu thức \( \frac{x-y}{\sqrt{x}-\sqrt{y}} \) (với \( x, y > 0; x \neq y \)).
Phân tích tử số thành hằng đẳng thức hiệu hai bình phương \( (\sqrt{x})^2 - (\sqrt{y})^2 \).
12. Câu hỏi: Tìm \( m \) để đồ thị hàm số \( y = 2x + m - 1 \) cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng 3.
Thay \( x = 0, y = 3 \) vào phương trình hàm số.
13. Câu hỏi: Cho \( \cos \alpha = \frac{3}{5} \). Tính \( \tan \alpha \) (với \( \alpha \) là góc nhọn).
Sử dụng công thức \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \) để tìm \( \sin \alpha \), sau đó tính \( \tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha} \).
14. Câu hỏi: Giá trị của biểu thức \( \sqrt{27} - 2\sqrt{12} + \sqrt{75} \) là:
Đưa thừa số ra ngoài dấu căn: \( 3\sqrt{3} - 4\sqrt{3} + 5\sqrt{3} \).
15. Câu hỏi: Trong một đường tròn, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là:
Theo định lý về góc nội tiếp, góc nội tiếp chắn nửa đường tròn có số đo bằng \( 90^\circ \).
16. Câu hỏi: Cặp số nào sau đây là nghiệm của phương trình \( 3x - 2y = 5 \)?
Thay tọa độ các cặp số vào phương trình để kiểm tra tính đúng đắn.
17. Câu hỏi: Cho đường thẳng \( d: y = (2m+1)x - 2 \). Góc tạo bởi \( d \) và trục \( Ox \) là góc tù khi:
Góc tạo bởi đường thẳng và trục \( Ox \) là góc tù khi hệ số góc \( a < 0 \).
18. Câu hỏi: Kết quả phép tính \( \sqrt{(\sqrt{3}-2)^2} \) là:
Vì \( \sqrt{3} < 2 \) nên \( |\sqrt{3}-2| = 2-\sqrt{3} \).
19. Câu hỏi: Hệ phương trình \( \begin{cases} mx + y = 1 \\ x + my = 1 \end{cases} \) vô nghiệm khi \( m \) bằng:
Hệ vô nghiệm khi \( \frac{m}{1} = \frac{1}{m} \neq \frac{1}{1} \).
20. Câu hỏi: Cho tam giác \( ABC \) có \( AB=3, AC=4, BC=5 \). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác là:
Tam giác có cạnh \( 3, 4, 5 \) là tam giác vuông, bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng nửa cạnh huyền.
21. Câu hỏi: Trục căn thức ở mẫu của \( \frac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}} \).
Nhân cả tử và mẫu với biểu thức liên hợp \( \sqrt{5}+\sqrt{3} \).
22. Câu hỏi: Hàm số \( y = (m^2+1)x - 5 \) là hàm số bậc nhất khi:
Hệ số \( a = m^2+1 \) luôn lớn hơn 0 với mọi \( m \), thỏa mãn điều kiện \( a \neq 0 \).
23. Câu hỏi: Một cột điện cao \( 7m \) có bóng trên mặt đất dài \( 4m \). Góc mà tia sáng mặt trời tạo với mặt đất (làm tròn đến độ) là:
Sử dụng tỉ số lượng giác \( \tan \alpha = \frac{\text{đối}}{\text{kề}} = \frac{7}{4} \).
24. Câu hỏi: Tìm \( x \) biết \( \sqrt[3]{x-1} = 2 \).
Lập phương hai vế: \( x-1 = 2^3 = 8 \Rightarrow x = 9 \).
25. Câu hỏi: Cho hai đường thẳng \( y = x+1 \) và \( y = -x+3 \). Tọa độ giao điểm của chúng là:
Giải phương trình hoành độ giao điểm \( x+1 = -x+3 \) để tìm \( x \), sau đó suy ra \( y \).
26. Câu hỏi: Cho biểu thức \( M = \sqrt{x^2-4x+4} \). Với \( x < 2 \), khẳng định nào đúng?
\( M = \sqrt{(x-2)^2} = |x-2| \). Với \( x < 2 \) thì \( x-2 < 0 \).
27. Câu hỏi: Cho đường tròn \( (O; R) \) và điểm \( M \) sao cho \( OM = 2R \). Từ \( M \) kẻ tiếp tuyến \( MA \) đến đường tròn. Độ dài \( MA \) là:
Sử dụng định lý Pytago trong tam giác vuông \( OAM \) vuông tại \( A \).
28. Câu hỏi: Hệ phương trình \( \begin{cases} x+y=5 \\ x-y=1 \end{cases} \) có nghiệm là:
Cộng hai phương trình vế theo vế để tìm \( x \), sau đó tìm \( y \).
29. Câu hỏi: Giá trị của \( \sin 30^\circ + \cos 60^\circ \) là:
Sử dụng bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt: \( \frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1 \).
30. Câu hỏi: Cho hàm số \( y = ax + 3 \). Biết đồ thị hàm số đi qua điểm \( A(-1; 1) \). Hệ số \( a \) là:
Thay tọa độ điểm \( A \) vào phương trình đường thẳng: \( 1 = a(-1) + 3 \).
31. Câu hỏi: Điều kiện xác định của biểu thức \( \frac{1}{\sqrt{x}-1} \) là:
Biểu thức dưới căn bậc hai không âm và mẫu số phải khác 0.
32. Câu hỏi: So sánh \( 3\sqrt{2} \) và \( 2\sqrt{3} \).
Đưa thừa số vào trong dấu căn: \( \sqrt{18} > \sqrt{12} \).
33. Câu hỏi: Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \), đường cao \( AH \). Biết \( BH=2, CH=8 \). Tính \( AH \).
Sử dụng hệ thức lượng: \( AH^2 = BH \cdot CH \).
34. Câu hỏi: Đường thẳng \( y = (m-2)x + 1 \) và \( y = 2x + 3 \) cắt nhau khi:
Hai đường thẳng cắt nhau khi hệ số góc khác nhau: \( m-2 \neq 2 \).
35. Câu hỏi: Số căn bậc hai của 9 là:
Mọi số dương đều có hai căn bậc hai đối nhau.
36. Câu hỏi: Cho \( (O; 10cm) \), dây \( AB \) cách tâm \( 6cm \). Độ dài dây \( AB \) là:
Tính nửa dây cung bằng Pytago: \( \sqrt{10^2 - 6^2} = 8 \). Dây cung bằng \( 2 \times 8 = 16 \).
