Giải thích: Phân tích ra thừa số nguyên tố: \(12 = 2^2 \times 3\); \(18 = 2 \times 3^2\); \(30 = 2 \times 3 \times 5\). ƯCLN là tích của các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất: \(2^1 \times 3^1 = 6\).
2. Câu hỏi: Tìm BCNN\((10; 15; 20)\).
Giải thích: Phân tích ra thừa số nguyên tố: \(10 = 2 \times 5\); \(15 = 3 \times 5\); \(20 = 2^2 \times 5\). BCNN là tích của các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất: \(2^2 \times 3^1 \times 5^1 = 4 \times 3 \times 5 = 60\).
Giải thích: ƯCLN là tích các thừa số nguyên tố chung với số mũ nhỏ nhất. Thừa số chung là 2 và 3. Số mũ nhỏ nhất của 2 là 1, của 3 là 2. Vậy ƯCLN\((a, b) = 2^1 \times 3^2\).
4. Câu hỏi: Cho \(m = 2^2 \times 3^4\) và \(n = 2^3 \times 3^2 \times 5\). BCNN\((m, n)\) là:
Giải thích: BCNN là tích các thừa số nguyên tố chung và riêng với số mũ lớn nhất. Thừa số chung và riêng là 2, 3, 5. Số mũ lớn nhất của 2 là 3, của 3 là 4, của 5 là 1. Vậy BCNN\((m, n) = 2^3 \times 3^4 \times 5\).
5. Câu hỏi: Hai số tự nhiên \(a\) và \(b\) được gọi là nguyên tố cùng nhau khi nào?
Giải thích: Định nghĩa của hai số nguyên tố cùng nhau là chúng có ƯCLN bằng 1. (Lưu ý, nếu ƯCLN\((a, b)=1\) thì BCNN\((a, b)=a \times b\) cũng đúng, nhưng ƯCLN=1 là định nghĩa chính xác và bao quát hơn).
6. Câu hỏi: Cặp số nào sau đây là nguyên tố cùng nhau?
Giải thích: Hai số nguyên tố cùng nhau nếu ƯCLN của chúng bằng 1. ƯCLN\((12, 20) = 4\); ƯCLN\((21, 35) = 7\); ƯCLN\((14, 49) = 7\). ƯCLN\((15, 22) = 1\) (\(15=3 \times 5\), \(22=2 \times 11\)).
7. Câu hỏi: Nếu ƯCLN\((a, b) = 5\), thì cả \(a\) và \(b\) đều phải:
Giải thích: Nếu ƯCLN\((a, b) = 5\), điều đó có nghĩa là 5 là ước chung lớn nhất của \(a\) và \(b\). Suy ra, \(a\) và \(b\) phải chia hết cho 5, tức là chúng có ước là 5 (A đúng) và chúng là bội của 5 (C đúng).
8. Câu hỏi: Tìm số tự nhiên \(x\) lớn nhất, biết rằng 120 chia hết cho \(x\) và 72 chia hết cho \(x\).
Giải thích: \(x\) là số lớn nhất là ước chung của 120 và 72. Ta cần tìm ƯCLN\((120, 72)\). \(120 = 2^3 \times 3 \times 5\); \(72 = 2^3 \times 3^2\). ƯCLN\((120, 72) = 2^3 \times 3 = 8 \times 3 = 24\).
9. Câu hỏi: Tìm số tự nhiên \(y\) nhỏ nhất khác 0, biết rằng \(y\) chia hết cho 15 và \(y\) chia hết cho 25.
Giải thích: \(y\) là số nhỏ nhất là bội chung của 15 và 25. Ta cần tìm BCNN\((15, 25)\). \(15 = 3 \times 5\); \(25 = 5^2\). BCNN\((15, 25) = 3 \times 5^2 = 3 \times 25 = 75\).
10. Câu hỏi: Cho hai số \(a\) và \(b\), biết \(a = 2^4 \times 5^3\) và \(b\) là số liền trước \(a\). ƯCLN\((a, b)\) bằng:
Giải thích: Hai số tự nhiên liên tiếp luôn là nguyên tố cùng nhau. Do đó, ƯCLN\((a, a-1) = 1\).
11. Câu hỏi: Một lớp học có 24 nam và 18 nữ. Có thể chia lớp thành nhiều nhất bao nhiêu nhóm sao cho số nam và số nữ trong mỗi nhóm đều bằng nhau?
Giải thích: Số nhóm phải là ước chung của 24 và 18. Số nhóm nhiều nhất là ƯCLN\((24, 18)\). \(24 = 2^3 \times 3\); \(18 = 2 \times 3^2\). ƯCLN\((24, 18) = 2 \times 3 = 6\).
12. Câu hỏi: Hai xe ô tô cùng xuất phát từ A đi B. Xe thứ nhất cứ 15 phút lại dừng nghỉ, xe thứ hai cứ 20 phút lại dừng nghỉ. Hỏi sau ít nhất bao nhiêu phút cả hai xe cùng dừng nghỉ lần tiếp theo?
Giải thích: Thời gian cần tìm phải là bội chung nhỏ nhất của 15 và 20. Ta cần tìm BCNN\((15, 20)\). \(15 = 3 \times 5\); \(20 = 2^2 \times 5\). BCNN\((15, 20) = 2^2 \times 3 \times 5 = 4 \times 15 = 60\) (phút).
13. Câu hỏi: Tích ƯCLN\((a, b) \times\) BCNN\((a, b)\) luôn bằng:
Giải thích: Đây là một tính chất quan trọng: Tích của ƯCLN và BCNN của hai số bất kỳ luôn bằng tích của hai số đó.
14. Câu hỏi: Nếu BCNN\((a, b) = a \times b\), thì điều gì luôn đúng?
Giải thích: Theo tính chất ƯCLN\((a, b) \times\) BCNN \((a, b) = a \times b \). Nếu BCNN\((a, b) = a \times b\), thì ƯCLN\((a, b)\) phải bằng 1. Điều này chứng tỏ \(a\) và \(b\) là nguyên tố cùng nhau.
15. Câu hỏi: Cho ba số \(a\), \(b\), \(c\) mà \(a\) là ước của \(b\) và \(b\) là ước của \(c\). Khi đó, ƯCLN\((a, b, c)\) là:
Giải thích: Vì \(a\) là ước của \(b\) và \(b\) là ước của \(c\), ta có \(a\) cũng là ước của \(c\). Vậy \(a\) là ước chung của \(a\), \(b\), \(c\). Trong trường hợp này, \(a\) là ước chung lớn nhất.
