Tracnghiemchuan tổng hợp 20 câu trắc nghiệm toán lớp 10 – giữa học kì 2 để cho các bé cùng ôn tập ngay. Chúng tôi mang đến những câu hỏi trắc nghiệm online bám sát chương trình học, cùng làm bài tập ngay để xem kiến thức tới đâu. Bộ mã đề 005 được cập nhật tại tracnghiemchuan.com ngay nào.
1. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), cho đường thẳng \( d: 2x - 3y + 5 = 0 \). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \( d \)?
Giải thích: Đường thẳng có phương trình tổng quát \( ax + by + c = 0 \) thì có một vectơ pháp tuyến là \( \vec{n} = (a; b) \). Do đó với đường thẳng \( d \), vectơ pháp tuyến tương ứng là \( (2; -3) \).
2. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), cho đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( M(1; -2) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (3; 5) \). Phương trình tham số của đường thẳng \( d \) là gì?
Giải thích: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \( M(x_0; y_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b) \) có dạng \( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \). Thay số ta được kết quả chính xác.
3. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( \Delta: x - 4y + 1 = 0 \).
Giải thích: Đường thẳng có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (a; b) \) thì có vectơ chỉ phương là \( \vec{u} = (-b; a) \) hoặc \( \vec{u} = (b; -a) \). Ở đây \( \vec{n} = (1; -4) \) nên phép tính chuyển đổi cho ta vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (4; 1) \).
4. Câu hỏi: Tính góc giữa hai đường thẳng \( d_1: x + 2y - 1 = 0 \) và \( d_2: x - 3y + 2 = 0 \).
Giải thích: Sử dụng công thức tính côsin góc giữa hai đường thẳng thông qua hai vectơ pháp tuyến \( \vec{n_1} = (1; 2) \) và \( \vec{n_2} = (1; -3) \). Ta có phép tính \( \cos(d_1, d_2) = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot (-3)|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + (-3)^{2}}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Kết quả góc giữa hai đường thẳng bằng \( 45^\circ \).
5. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), tính khoảng cách từ điểm \( A(1; 2) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 4y - 1 = 0 \).
Giải thích: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, ta có phép tính \( d(A, \Delta) = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 1|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|3 + 8 - 1|}{5} = \frac{10}{5} = 2 \).
6. Câu hỏi: Tìm tâm \( I \) và bán kính \( R \) của đường tròn \( (C): (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16 \).
Giải thích: Phương trình đường tròn có dạng chuẩn là \( (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2} \). Đối chiếu với phương trình đã cho ta có tâm \( I(2; -3) \) và phép tính bán kính \( R = \sqrt{16} = 4 \).
7. Câu hỏi: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
Giải thích: Phương trình dạng \( x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0 \) là đường tròn khi và chỉ khi phép tính \( a^{2} + b^{2} - c > 0 \). Với đáp án B, ta có \( a = 2, b = -1, c = -1 \), phép tính thử lại \( 2^{2} + (-1)^{2} - (-1) = 6 > 0 \) nên đây là đường tròn. Đáp án C sai hệ số của \( y^{2} \), đáp án D chứa hạng tử \( xy \).
8. Câu hỏi: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn \( (C): x^{2} + y^{2} = 25 \) tại điểm \( M(3; 4) \) thuộc đường tròn.
Giải thích: Tiếp tuyến tại điểm \( M(x_0; y_0) \) thuộc đường tròn tâm \( O(0;0) \) có phương trình dạng \( x_0x + y_0y - R^{2} = 0 \). Thay tọa độ điểm \( M(3;4) \) vào ta có phép tính ra ngay phương trình \( 3x + 4y - 25 = 0 \).
9. Câu hỏi: Phương trình chính tắc của đường elip có độ dài trục lớn bằng \( 10 \) và độ dài trục nhỏ bằng \( 6 \) là phương trình nào dưới đây?
Giải thích: Độ dài trục lớn \( 2a = 10 \Rightarrow a = 5 \), độ dài trục nhỏ \( 2b = 6 \Rightarrow b = 3 \). Phép tính bình phương cho kết quả \( a^{2} = 25 \) và \( b^{2} = 9 \). Phương trình chính tắc của elip có dạng \( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \).
10. Câu hỏi: Cho đường elip \( (E): \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1 \). Tìm tọa độ các tiêu điểm của elip đó.
Giải thích: Ta có \( a^{2} = 16, b^{2} = 7 \). Mối liên hệ trong elip là phép tính \( c^{2} = a^{2} - b^{2} = 16 - 7 = 9 \Rightarrow c = 3 \). Tiêu điểm của elip nằm trên trục hoành có tọa độ \( F_1(-c; 0) \) và \( F_2(c; 0) \).
11. Câu hỏi: Cho hàm số bậc hai \( y = f(x) = ax^{2} + bx + c \) có đồ thị là một parabol có bề lõm quay lên trên và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ \( x = 1 \) và \( x = 3 \). Tập nghiệm của bất phương trình \( f(x) < 0 \) là khoảng nào?
Giải thích: Vì parabol có bề lõm hướng lên nên hệ số \( a > 0 \). Tam thức bậc hai \( f(x) \) có hai nghiệm phân biệt và sẽ trái dấu với hệ số \( a \) (tức là \( f(x) < 0 \)) ở miền trong khoảng hai nghiệm. Do đó kết quả tập nghiệm là \( (1; 3) \).
12. Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) để tam thức bậc hai \( f(x) = x^{2} - 2x + m \) luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \).
Giải thích: Tam thức bậc hai luôn dương với mọi \( x \) khi hệ số \( a > 0 \) (ở đây \( 1 > 0 \) luôn đúng) và biệt thức \( \Delta' < 0 \). Ta thực hiện phép tính \( \Delta' = (-1)^{2} - 1 \cdot m = 1 - m 1 \).
13. Câu hỏi: Tập nghiệm \( S \) của bất phương trình bậc hai \( -x^{2} + 5x - 6 \ge 0 \) là tập hợp nào sau đây?
Giải thích: Tam thức bậc hai \( -x^{2} + 5x - 6 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt là \( x = 2 \) và \( x = 3 \). Hệ số \( a = -1 < 0 \), bất phương trình lấy dấu \( \ge 0 \) tức là cùng dấu hoặc bằng 0 tại miền trong khoảng hai nghiệm. Kết quả thu được là đoạn \( [2; 3] \).
14. Câu hỏi: Tìm tập nghiệm của phương trình chứa ẩn dưới dấu căn sau: \( \sqrt{x^{2} - 3x + 2} = \sqrt{x - 1} \).
Giải thích: Bình phương hai vế ta được phép tính phương trình hệ quả: \( x^{2} - 3x + 2 = x - 1 \Leftrightarrow x^{2} - 4x + 3 = 0 \), phương trình này cho hai nghiệm \( x = 1 \) hoặc \( x = 3 \). Thay ngược lại vào biểu thức căn thức để kiểm tra điều kiện xác định: với \( x = 1 \) ta có biểu thức trong căn bằng \( 0 \) (thỏa mãn); với \( x = 3 \) ta có biểu thức trong căn lớn hơn \( 0 \) (thỏa mãn). Vậy cả hai nghiệm đều đúng.
15. Câu hỏi: Giải phương trình \( \sqrt{2x^{2} - 3x - 1} = x - 1 \).
Giải thích: Điều kiện vế phải không âm là phép tính \( x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1 \). Bình phương hai vế phương trình, ta có phép tính biến đổi: \( 2x^{2} - 3x - 1 = (x - 1)^{2} \Leftrightarrow 2x^{2} - 3x - 1 = x^{2} - 2x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \). Phương trình này có hai nghiệm là \( x = 2 \) và \( x = -1 \). Đối chiếu điều kiện \( x \ge 1 \), chỉ có giá trị \( x = 2 \) là kết quả nghiệm chính xác.
16. Câu hỏi: Từ các chữ số \( 1, 2, 3, 4, 5 \), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một?
Giải thích: Việc chọn và sắp xếp 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Phép tính số lượng các số lập được là \( A_5^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \).
17. Câu hỏi: Một nhóm học sinh gồm có 6 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự gồm 3 học sinh, trong đó có đúng 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ?
Giải thích: Số cách chọn 2 nam từ 6 nam là \( C_6^{2} \), số cách chọn 1 nữ từ 4 nữ là \( C_4^{1} \). Theo quy tắc nhân, tổng số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài tương ứng với phép tính \( C_6^{2} \cdot C_4^{1} = 15 \cdot 4 = 60 \).
18. Câu hỏi: Có bao nhiêu cách xếp vị trí ngồi cho 5 người khách vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi được sắp sẵn?
Giải thích: Mỗi cách xếp vị trí ngồi cho 5 người vào 5 chỗ là một hoán vị của 5 phần tử. Phép tính số lượng cách xếp là \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \).
19. Câu hỏi: Khai triển biểu thức nhị thức Newton \( (x + 2)^{4} \) ta được biểu thức nào sau đây?
Giải thích: Áp dụng công thức nhị thức Newton với \( n = 4 \), ta thực hiện phép tính khai triển hệ số tương ứng: \( (x+2)^{4} = C_4^{0}x^{4} + C_4^{1}x^{3} \cdot 2^{1} + C_4^{2}x^{2} \cdot 2^{2} + C_4^{3}x^{1} \cdot 2^{3} + C_4^{4} \cdot 2^{4} \). Tính các giá trị số hạng cho ra kết quả \( x^{4} + 8x^{3} + 24x^{2} + 32x + 16 \).
20. Câu hỏi: Tìm hệ số của số hạng chứa \( x^{3} \) trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức \( (x - 1)^{5} \).
Giải thích: Số hạng tổng quát trong khai triển là \( C_5^{k} \cdot x^{5-k} \cdot (-1)^{k} \). Số hạng chứa \( x^{3} \) ứng với số mũ \( 5 - k = 3 \Rightarrow k = 2 \). Hệ số của số hạng này được xác định bởi phép tính \( C_5^{2} \cdot (-1)^{2} = 10 \cdot 1 = 10 \).