1. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), cho đường thẳng \( d: 2x - 3y + 5 = 0 \). Vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng \( d \)?
Giải thích: Đường thẳng có phương trình tổng quát \( ax + by + c = 0 \) thì có một vectơ pháp tuyến là \( \vec{n} = (a; b) \). Do đó với đường thẳng \( d \), vectơ pháp tuyến tương ứng là \( (2; -3) \).
2. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), cho đường thẳng \( d \) đi qua điểm \( M(1; -2) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (3; 5) \). Phương trình tham số của đường thẳng \( d \) là gì?
Giải thích: Phương trình tham số của đường thẳng đi qua \( M(x_0; y_0) \) và có vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (a; b) \) có dạng \( \begin{cases} x = x_0 + at \\ y = y_0 + bt \end{cases} \). Thay số ta được kết quả chính xác.
3. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), tìm vectơ chỉ phương của đường thẳng \( \Delta: x - 4y + 1 = 0 \).
Giải thích: Đường thẳng có vectơ pháp tuyến \( \vec{n} = (a; b) \) thì có vectơ chỉ phương là \( \vec{u} = (-b; a) \) hoặc \( \vec{u} = (b; -a) \). Ở đây \( \vec{n} = (1; -4) \) nên phép tính chuyển đổi cho ta vectơ chỉ phương \( \vec{u} = (4; 1) \).
4. Câu hỏi: Tính góc giữa hai đường thẳng \( d_1: x + 2y - 1 = 0 \) và \( d_2: x - 3y + 2 = 0 \).
Giải thích: Sử dụng công thức tính côsin góc giữa hai đường thẳng thông qua hai vectơ pháp tuyến \( \vec{n_1} = (1; 2) \) và \( \vec{n_2} = (1; -3) \). Ta có phép tính \( \cos(d_1, d_2) = \frac{|1 \cdot 1 + 2 \cdot (-3)|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}} \cdot \sqrt{1^{2} + (-3)^{2}}} = \frac{|-5|}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{10}} = \frac{5}{5\sqrt{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \). Kết quả góc giữa hai đường thẳng bằng \( 45^\circ \).
5. Câu hỏi: Trong mặt phẳng tọa độ \( Oxy \), tính khoảng cách từ điểm \( A(1; 2) \) đến đường thẳng \( \Delta: 3x + 4y - 1 = 0 \).
Giải thích: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng, ta có phép tính \( d(A, \Delta) = \frac{|3 \cdot 1 + 4 \cdot 2 - 1|}{\sqrt{3^{2} + 4^{2}}} = \frac{|3 + 8 - 1|}{5} = \frac{10}{5} = 2 \).
6. Câu hỏi: Tìm tâm \( I \) và bán kính \( R \) của đường tròn \( (C): (x - 2)^{2} + (y + 3)^{2} = 16 \).
Giải thích: Phương trình đường tròn có dạng chuẩn là \( (x - a)^{2} + (y - b)^{2} = R^{2} \). Đối chiếu với phương trình đã cho ta có tâm \( I(2; -3) \) và phép tính bán kính \( R = \sqrt{16} = 4 \).
7. Câu hỏi: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
Giải thích: Phương trình dạng \( x^{2} + y^{2} - 2ax - 2by + c = 0 \) là đường tròn khi và chỉ khi phép tính \( a^{2} + b^{2} - c > 0 \). Với đáp án B, ta có \( a = 2, b = -1, c = -1 \), phép tính thử lại \( 2^{2} + (-1)^{2} - (-1) = 6 > 0 \) nên đây là đường tròn. Đáp án C sai hệ số của \( y^{2} \), đáp án D chứa hạng tử \( xy \).
8. Câu hỏi: Lập phương trình tiếp tuyến của đường tròn \( (C): x^{2} + y^{2} = 25 \) tại điểm \( M(3; 4) \) thuộc đường tròn.
Giải thích: Tiếp tuyến tại điểm \( M(x_0; y_0) \) thuộc đường tròn tâm \( O(0;0) \) có phương trình dạng \( x_0x + y_0y - R^{2} = 0 \). Thay tọa độ điểm \( M(3;4) \) vào ta có phép tính ra ngay phương trình \( 3x + 4y - 25 = 0 \).
9. Câu hỏi: Phương trình chính tắc của đường elip có độ dài trục lớn bằng \( 10 \) và độ dài trục nhỏ bằng \( 6 \) là phương trình nào dưới đây?
Giải thích: Độ dài trục lớn \( 2a = 10 \Rightarrow a = 5 \), độ dài trục nhỏ \( 2b = 6 \Rightarrow b = 3 \). Phép tính bình phương cho kết quả \( a^{2} = 25 \) và \( b^{2} = 9 \). Phương trình chính tắc của elip có dạng \( \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 \).
10. Câu hỏi: Cho đường elip \( (E): \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{7} = 1 \). Tìm tọa độ các tiêu điểm của elip đó.
Giải thích: Ta có \( a^{2} = 16, b^{2} = 7 \). Mối liên hệ trong elip là phép tính \( c^{2} = a^{2} - b^{2} = 16 - 7 = 9 \Rightarrow c = 3 \). Tiêu điểm của elip nằm trên trục hoành có tọa độ \( F_1(-c; 0) \) và \( F_2(c; 0) \).
11. Câu hỏi: Cho hàm số bậc hai \( y = f(x) = ax^{2} + bx + c \) có đồ thị là một parabol có bề lõm quay lên trên và cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt có hoành độ \( x = 1 \) và \( x = 3 \). Tập nghiệm của bất phương trình \( f(x) < 0 \) là khoảng nào?
Giải thích: Vì parabol có bề lõm hướng lên nên hệ số \( a > 0 \). Tam thức bậc hai \( f(x) \) có hai nghiệm phân biệt và sẽ trái dấu với hệ số \( a \) (tức là \( f(x) < 0 \)) ở miền trong khoảng hai nghiệm. Do đó kết quả tập nghiệm là \( (1; 3) \).
12. Câu hỏi: Tìm tất cả các giá trị của tham số \( m \) để tam thức bậc hai \( f(x) = x^{2} - 2x + m \) luôn dương với mọi \( x \in \mathbb{R} \).
Giải thích: Tam thức bậc hai luôn dương với mọi \( x \) khi hệ số \( a > 0 \) (ở đây \( 1 > 0 \) luôn đúng) và biệt thức \( \Delta' < 0 \). Ta thực hiện phép tính \( \Delta' = (-1)^{2} - 1 \cdot m = 1 - m 1 \).
13. Câu hỏi: Tập nghiệm \( S \) của bất phương trình bậc hai \( -x^{2} + 5x - 6 \ge 0 \) là tập hợp nào sau đây?
Giải thích: Tam thức bậc hai \( -x^{2} + 5x - 6 = 0 \) có hai nghiệm phân biệt là \( x = 2 \) và \( x = 3 \). Hệ số \( a = -1 < 0 \), bất phương trình lấy dấu \( \ge 0 \) tức là cùng dấu hoặc bằng 0 tại miền trong khoảng hai nghiệm. Kết quả thu được là đoạn \( [2; 3] \).
14. Câu hỏi: Tìm tập nghiệm của phương trình chứa ẩn dưới dấu căn sau: \( \sqrt{x^{2} - 3x + 2} = \sqrt{x - 1} \).
Giải thích: Bình phương hai vế ta được phép tính phương trình hệ quả: \( x^{2} - 3x + 2 = x - 1 \Leftrightarrow x^{2} - 4x + 3 = 0 \), phương trình này cho hai nghiệm \( x = 1 \) hoặc \( x = 3 \). Thay ngược lại vào biểu thức căn thức để kiểm tra điều kiện xác định: với \( x = 1 \) ta có biểu thức trong căn bằng \( 0 \) (thỏa mãn); với \( x = 3 \) ta có biểu thức trong căn lớn hơn \( 0 \) (thỏa mãn). Vậy cả hai nghiệm đều đúng.
15. Câu hỏi: Giải phương trình \( \sqrt{2x^{2} - 3x - 1} = x - 1 \).
Giải thích: Điều kiện vế phải không âm là phép tính \( x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge 1 \). Bình phương hai vế phương trình, ta có phép tính biến đổi: \( 2x^{2} - 3x - 1 = (x - 1)^{2} \Leftrightarrow 2x^{2} - 3x - 1 = x^{2} - 2x + 1 \Leftrightarrow x^{2} - x - 2 = 0 \). Phương trình này có hai nghiệm là \( x = 2 \) và \( x = -1 \). Đối chiếu điều kiện \( x \ge 1 \), chỉ có giá trị \( x = 2 \) là kết quả nghiệm chính xác.
16. Câu hỏi: Từ các chữ số \( 1, 2, 3, 4, 5 \), có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm 3 chữ số khác nhau từng đôi một?
Giải thích: Việc chọn và sắp xếp 3 chữ số khác nhau từ 5 chữ số đã cho là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử. Phép tính số lượng các số lập được là \( A_5^{3} = 5 \cdot 4 \cdot 3 = 60 \).
17. Câu hỏi: Một nhóm học sinh gồm có 6 nam và 4 nữ. Có bao nhiêu cách chọn ra một ban cán sự gồm 3 học sinh, trong đó có đúng 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ?
Giải thích: Số cách chọn 2 nam từ 6 nam là \( C_6^{2} \), số cách chọn 1 nữ từ 4 nữ là \( C_4^{1} \). Theo quy tắc nhân, tổng số cách chọn thỏa mãn yêu cầu đề bài tương ứng với phép tính \( C_6^{2} \cdot C_4^{1} = 15 \cdot 4 = 60 \).
18. Câu hỏi: Có bao nhiêu cách xếp vị trí ngồi cho 5 người khách vào một chiếc ghế dài có 5 chỗ ngồi được sắp sẵn?
Giải thích: Mỗi cách xếp vị trí ngồi cho 5 người vào 5 chỗ là một hoán vị của 5 phần tử. Phép tính số lượng cách xếp là \( 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120 \).
19. Câu hỏi: Khai triển biểu thức nhị thức Newton \( (x + 2)^{4} \) ta được biểu thức nào sau đây?
Giải thích: Áp dụng công thức nhị thức Newton với \( n = 4 \), ta thực hiện phép tính khai triển hệ số tương ứng: \( (x+2)^{4} = C_4^{0}x^{4} + C_4^{1}x^{3} \cdot 2^{1} + C_4^{2}x^{2} \cdot 2^{2} + C_4^{3}x^{1} \cdot 2^{3} + C_4^{4} \cdot 2^{4} \). Tính các giá trị số hạng cho ra kết quả \( x^{4} + 8x^{3} + 24x^{2} + 32x + 16 \).
20. Câu hỏi: Tìm hệ số của số hạng chứa \( x^{3} \) trong khai triển nhị thức Newton của biểu thức \( (x - 1)^{5} \).
Giải thích: Số hạng tổng quát trong khai triển là \( C_5^{k} \cdot x^{5-k} \cdot (-1)^{k} \). Số hạng chứa \( x^{3} \) ứng với số mũ \( 5 - k = 3 \Rightarrow k = 2 \). Hệ số của số hạng này được xác định bởi phép tính \( C_5^{2} \cdot (-1)^{2} = 10 \cdot 1 = 10 \).
